419 回国，点球的博弈论
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皮皮视频演播室，詹骏、黄飞翔等人如同打鸡血般激动，因为他们终于见到了虽然换了国籍，但绝对是中国足球史上第一个世界级的球星，而且这个球星还那么的年轻，潜力无限巨大。
接受皮皮视频的邀请，成为今晚中国队和乌兹别克斯坦之战的特约嘉宾，这个消息也令原本看央视直播的观众们一下子通过电脑、手机，打开皮皮视频，巨大的流量差点令直播间瘫痪。
央视欲哭无泪，原本有望破三的收视率，却被一个人打败，捶胸顿足的懊悔为什么自己就没有想到这一点呢。
皮皮视频的解说大咖们如同见偶像般，和掌喆天合影并索要签名，甚至要和他进行一场友谊赛，想要体验体验这个世界级门将的实力。
掌喆天欣然应允，也让他们见到了这个年轻球星的很好打交道的亲和力，更让他们坚信掌喆天是被“迫害”出国家队的。
为了公平起见，掌喆天上半场代表解说大咖队，下半场代表太阳高管队，在中糙球队太阳俱乐部的训练基地进行了一场友谊赛。
大咖队的队员们说球是顶级，踢球也不遑多让。前国脚，算是掌喆天的前师兄刘小越和李彦龙，加上一帮知名的解说大咖，还有掌喆天，阵容堪称超级豪华。
太阳高管队由前国脚李金玉压阵，实力也不容小觑，这次解说大咖队队员特意身穿中国国家队的红色队服出场，为今晚的生死战助力。
比赛总共分三节，每节三十分钟。比赛刚开始，大咖队明显慢热，太阳高管队利用有效的反击创造不少必进机会，都都被实力高出几万倍的掌喆天轻松化解，周围的观众更是兴奋的高喊“世界第一门神1
因为掌喆天的存在，上半场大咖队防守无忧，全力进攻打进对方三球。但到了下半场，就变成高管队的防守固若金汤，反而扳回三球，最后点球大战，双方为了争夺掌喆天为自己守门争论不休，最后，居然让掌喆天同时代表双方守门。
结果，每个人都罚了一次了，都无人打破掌喆天的十指关，哪怕双方劝说、“贿赂”也说服不了具有职业精神的掌喆天放水，为了避免踢到天黑，最后破天荒的取消点球，双方握手言和，皆大欢喜。
“掌先生，见识到你的实力，我们终于相信你不但值1.1亿欧元，而且物超所值，内马尔都不如你。”
“我们脚法不行，毕竟是业余踢踢球，享受足球的快乐。但大玉、刘哥他们都是前国脚出身，点球都进不了，你是怎么做到的啊？”
掌喆天微微一笑，谦虚的说道：“运气，运气。”
心里说的是，不是我狂妄，你们这些人都是辣鸡。
每一粒点球都是一次选择——对于门将和点球主罚者来说皆是如此。
点球主罚者需要决定将球踢向右侧、左侧还是中路，相对的，门将也需要决定是扑向右侧、扑向左侧还是留在原地。
足球，是一项两方各由11人组成，去争夺一只皮球的游戏。
但问题是，双方每名球员都有自己的场上位置，究竟哪一个位置是最抢眼的呢？
过去九年在金球奖席位上轮流坐庄的两名球员似乎印证了前锋球员永远是足球场上当仁不让的明星，但我们认为事情远没有这么简单。
有个专栏作家曾经在一篇文章中写道：“当我刚开始涉猎影视的时候，足球对我来说已经不单单是竞技比赛那么简单了，对我来说，足球也成为了我了解历史与哲学思想的媒介，我对门将的角色非常着迷。说真的，你了解门将么？在一名门将做出扑救动作之前，你知道他是怎样思考的么？门将算是一名真正意义上的足球运动员么？或者他们只是比赛的旁观者，一名后现代主义的体育从事者？抑或是足球比赛中的约瑟夫k.(奥地利作家卡夫卡笔下的角色)，在每场比赛过后都要经历一次并不公正的审判？”
随后他提到了德国导演维姆文德斯的存在主义巨作守门员害怕罚点球(译注：1971年，26岁的维姆-文德斯执导了非情节化、不求表意的运动题材电影守门员害怕罚点球)，电影里的主人公是一名门将，对方球员趁他和边线外的人员交流之际将球踢进了球门，在进球被判有效后他愤怒地推了一把裁判，从而导致自己被红牌罚下，这就是电影开头的一幕。班纳吉对于该电影的引用到此为止，他认为此时正好可以提出他刚才的问题：“守门员到底是个什么样的角色？”
这确实是个值得探讨的问题。
不过在点球中，守门员确实是绝对的主角，他们需要一次又一次地去做出决定——是扑向一边，还是守住中路。
虽然历史上不乏守门员奋力化解点球并留名青史的案例，但点球的历史无非就是守门员抉择的历史。
当然，一段守门员抉择的历史，也就是主罚者抉择的历史。
在1994年英格兰足总杯曼联对阵切尔西的决赛里，法国球星埃里克坎通纳依靠两粒点球帮助红魔4-0力克对手。
赛后的新闻发布会上有记者对于坎通纳主罚第二粒点球时的心理状态进行了提问，坎通纳对此回应道：“一开始我打算踢向(球门的)另一侧，但是我觉得他已经猜到了这一点，所以我决定还是踢向同一侧。但是我又转念一想，他可能猜到了我的想法，所以我决定将球踢向另一侧。但我又想了想，他可能已经猜到我猜到他的想法了，所以我还是选择将球踢向同一侧”至此法国人停了下来，他仿佛意识到了自己走进了一个死循环，然后干脆说：“所以我没再多想，直接踢了出去。”
很多球队固定的点球手都曾经表示即使自己已经开始助跑，实际上他们依然没有决定到底要将球踢向球门的哪一侧。
在2016年百年美洲杯决赛的点球大战环节里，为阿根廷第一个主罚点球的莱奥梅西在走上点球点时紧张而复杂的面部表情令人印象深刻。
在一年前的美洲杯决赛中，他将球踢进了球门左下角。
智利队门将克劳迪奥布拉沃已经和梅西做了两年队友，他对梅西此时的心理活动一定会有些许了解。
在那一瞬间，我相信那是一个典型的二人博弈情境。
梅西再次将球踢向了自己右侧，但不幸的是球击中了门楣，阿根廷队在三年中第三次无缘冠军。
如果梅西始终无法带领阿根廷在国际赛场上斩获冠军，他还能否被称为史上最佳这个问题尚有待讨论的话，那么这支阿根廷不配被称为世界足坛的无冕之王这一命题应该是没有异议的。
1954年的匈牙利队完全对得起无冕之王的称号——但是1954年的瑞士世界杯决赛并没有进入到点球大战环节。
然后是1974年由约翰克鲁伊夫领衔的荷兰队。
另外一位匈牙利人冯诺依曼(译注：20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论、核武器和生化武器等诸多领域内有杰出建树的伟大科学家，被后人称为“计算机之父”和“博弈论之父”。1944年与摩根斯特恩合著博弈论与经济行为，是博弈论学科的奠基性著作)很可能对足球没有任何兴趣，但他肯定意识到了匈牙利队是多么成功的一支球队。
但是关于他是否在研究“极小极大定理”时考虑到了点球博弈，这个我们不得而知。
1928年，诺依曼发表了一篇论文客厅游戏的理论，被视为博弈论的开山之作。
该理论的大致含义是：在一场零和博弈中(译注：又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈。指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”，双方不存在合作的可能)，双方具有完美信息(译注：所谓完美信息，指轮到行动的局中人知道先前的行动的其他局中人采取了什么策略，比如在2016年的百年美洲杯决赛中，布拉沃知道梅西之前所做的决策)，两方可以采取相应的对策来使自己的损失减到最校
当考虑自己可以采用的每一个策略时，一方必须考虑到在自己采用一种策略时，对方有可能采取的所有反应。
双方需要考虑的是“最差条件下，能得到的最好结果”，即在博弈过程中，看对方提出决策后自己的最低收益是多少；然后在这些最低收益里找到最大的那个。
实证检验这样一个定理是非常困难的，但是罚点球情境却是研究极小极大定理的理想素材。
点球博弈是典型的零和博弈，点球主罚者的得益和门将的得益一定是相对的(即不存在点球主罚者与对方门将共赢的可能)。
伦敦经济学院经管策略学教授兼毕尔巴鄂竞技足球俱乐部人才甄别中心负责人伊格纳西奥维尔塔对此进行了一个很有参考价值的研究。
点球博弈模型可以如此展开分析：在一场点球博弈中，双方的得益都是比赛的胜利——主罚者需要踢进点球，守门员需要扑出点球。我们假定主罚者可以将球踢向左侧或右侧，相对应的，守门员也可以做出向左或是向右的扑救动作。双方还有一种选择是主罚者将球踢向中路，守门员留守中路，但我们随后将会分析这种情况在统计学上意义不大，所以我们维持向左或向右的假定。当然主罚者完全有可能将球踢出球门范围以外，我们在这里不予考虑。
π在这里代表一个特定的事件，πlr代表的是主罚者将球踢向自己左侧，而守门员扑向主罚者右侧的情况。在事实层面表现为守门员完全扑错了方向。
我们必须清楚一点：双方的动作是同时做出的——有研究表明，球从踢球者脚下到球门线只需要大概0.3秒的时间，这意味着守门员不可能等到球被踢出，看到球的运行轨迹后再做出成功扑救。
这意味着主罚者和守门员必须同时选择他们的策略。
维尔塔教授经过研究，表明点球博弈在如下情况时，能够达到一种与众不同的纳什均衡(译注：又称为非合作博弈均衡，以约翰纳什命名，如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益则此策略组合被称为纳什均衡)。
在上述模型中，想要达到纳什均衡，主罚者和守门员需要采取策略组合。
上述均衡能够产生两个可预测的实验结果。我们提出了一个“成功率”的概念——点球主罚者和守门员的成功概率应该是一样的。
主罚者和守门员在点球过程中的选择必须相互独立。
简而言之，双方必须只关心当时的得益而不考虑过往的点球经历——双方的选择必须基于无记忆条件下的。
换句话说，在对于一个现时点球的决策过程中，双方都不能被之前的经验所影响。
其实道理很简单，作为点球主罚者或是守门员，如果对方预先知道你的选择，那么形势对自己将相当不利。所以对于两方来说，比较理想的情况是双方各自随机挑选策略组合，并且无法从对方的策略组合中牟利。
维埃塔教授用经典假设方法与真实数据来检定上述两个假设是否成立。数据来自于西班牙、英格兰、意大利以及一些国际比赛，时间限定在1995年9月到2012年6月。
数据的规模达到了总共9017次点球，同时被记录下来的数据还包括：球员的名字(包括点球主罚者和守门员各自的名字)，比赛双方球队的名字，比赛日期，点球主罚者将球踢出的方向(自己的左侧、右侧或是中路)，主罚点球的时间点，主罚点球前的双方比分，比赛的最终结果，点球是否罚进(未罚进的情况包括被守门员扑救、偏出或者踢中门柱或横梁)，上述每一项数据都清晰地分成类别。
皮皮视频演播室，詹骏、黄飞翔等人如同打鸡血般激动，因为他们终于见到了虽然换了国籍，但绝对是中国足球史上第一个世界级的球星，而且这个球星还那么的年轻，潜力无限巨大。
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央视欲哭无泪，原本有望破三的收视率，却被一个人打败，捶胸顿足的懊悔为什么自己就没有想到这一点呢。
皮皮视频的解说大咖们如同见偶像般，和掌喆天合影并索要签名，甚至要和他进行一场友谊赛，想要体验体验这个世界级门将的实力。
掌喆天欣然应允，也让他们见到了这个年轻球星的很好打交道的亲和力，更让他们坚信掌喆天是被“迫害”出国家队的。
为了公平起见，掌喆天上半场代表解说大咖队，下半场代表太阳高管队，在中糙球队太阳俱乐部的训练基地进行了一场友谊赛。
大咖队的队员们说球是顶级，踢球也不遑多让。前国脚，算是掌喆天的前师兄刘小越和李彦龙，加上一帮知名的解说大咖，还有掌喆天，阵容堪称超级豪华。
太阳高管队由前国脚李金玉压阵，实力也不容小觑，这次解说大咖队队员特意身穿中国国家队的红色队服出场，为今晚的生死战助力。
比赛总共分三节，每节三十分钟。比赛刚开始，大咖队明显慢热，太阳高管队利用有效的反击创造不少必进机会，都都被实力高出几万倍的掌喆天轻松化解，周围的观众更是兴奋的高喊“世界第一门神1
因为掌喆天的存在，上半场大咖队防守无忧，全力进攻打进对方三球。但到了下半场，就变成高管队的防守固若金汤，反而扳回三球，最后点球大战，双方为了争夺掌喆天为自己守门争论不休，最后，居然让掌喆天同时代表双方守门。
结果，每个人都罚了一次了，都无人打破掌喆天的十指关，哪怕双方劝说、“贿赂”也说服不了具有职业精神的掌喆天放水，为了避免踢到天黑，最后破天荒的取消点球，双方握手言和，皆大欢喜。
“掌先生，见识到你的实力，我们终于相信你不但值1.1亿欧元，而且物超所值，内马尔都不如你。”
“我们脚法不行，毕竟是业余踢踢球，享受足球的快乐。但大玉、刘哥他们都是前国脚出身，点球都进不了，你是怎么做到的啊？”
掌喆天微微一笑，谦虚的说道：“运气，运气。”
心里说的是，不是我狂妄，你们这些人都是辣鸡。
每一粒点球都是一次选择——对于门将和点球主罚者来说皆是如此。
点球主罚者需要决定将球踢向右侧、左侧还是中路，相对的，门将也需要决定是扑向右侧、扑向左侧还是留在原地。
足球，是一项两方各由11人组成，去争夺一只皮球的游戏。
但问题是，双方每名球员都有自己的场上位置，究竟哪一个位置是最抢眼的呢？
过去九年在金球奖席位上轮流坐庄的两名球员似乎印证了前锋球员永远是足球场上当仁不让的明星，但我们认为事情远没有这么简单。
有个专栏作家曾经在一篇文章中写道：“当我刚开始涉猎影视的时候，足球对我来说已经不单单是竞技比赛那么简单了，对我来说，足球也成为了我了解历史与哲学思想的媒介，我对门将的角色非常着迷。说真的，你了解门将么？在一名门将做出扑救动作之前，你知道他是怎样思考的么？门将算是一名真正意义上的足球运动员么？或者他们只是比赛的旁观者，一名后现代主义的体育从事者？抑或是足球比赛中的约瑟夫k.(奥地利作家卡夫卡笔下的角色)，在每场比赛过后都要经历一次并不公正的审判？”
随后他提到了德国导演维姆文德斯的存在主义巨作守门员害怕罚点球(译注：1971年，26岁的维姆-文德斯执导了非情节化、不求表意的运动题材电影守门员害怕罚点球)，电影里的主人公是一名门将，对方球员趁他和边线外的人员交流之际将球踢进了球门，在进球被判有效后他愤怒地推了一把裁判，从而导致自己被红牌罚下，这就是电影开头的一幕。班纳吉对于该电影的引用到此为止，他认为此时正好可以提出他刚才的问题：“守门员到底是个什么样的角色？”
这确实是个值得探讨的问题。
不过在点球中，守门员确实是绝对的主角，他们需要一次又一次地去做出决定——是扑向一边，还是守住中路。
虽然历史上不乏守门员奋力化解点球并留名青史的案例，但点球的历史无非就是守门员抉择的历史。
当然，一段守门员抉择的历史，也就是主罚者抉择的历史。
在1994年英格兰足总杯曼联对阵切尔西的决赛里，法国球星埃里克坎通纳依靠两粒点球帮助红魔4-0力克对手。
赛后的新闻发布会上有记者对于坎通纳主罚第二粒点球时的心理状态进行了提问，坎通纳对此回应道：“一开始我打算踢向(球门的)另一侧，但是我觉得他已经猜到了这一点，所以我决定还是踢向同一侧。但是我又转念一想，他可能猜到了我的想法，所以我决定将球踢向另一侧。但我又想了想，他可能已经猜到我猜到他的想法了，所以我还是选择将球踢向同一侧”至此法国人停了下来，他仿佛意识到了自己走进了一个死循环，然后干脆说：“所以我没再多想，直接踢了出去。”
很多球队固定的点球手都曾经表示即使自己已经开始助跑，实际上他们依然没有决定到底要将球踢向球门的哪一侧。
在2016年百年美洲杯决赛的点球大战环节里，为阿根廷第一个主罚点球的莱奥梅西在走上点球点时紧张而复杂的面部表情令人印象深刻。
在一年前的美洲杯决赛中，他将球踢进了球门左下角。
智利队门将克劳迪奥布拉沃已经和梅西做了两年队友，他对梅西此时的心理活动一定会有些许了解。
在那一瞬间，我相信那是一个典型的二人博弈情境。
梅西再次将球踢向了自己右侧，但不幸的是球击中了门楣，阿根廷队在三年中第三次无缘冠军。
如果梅西始终无法带领阿根廷在国际赛场上斩获冠军，他还能否被称为史上最佳这个问题尚有待讨论的话，那么这支阿根廷不配被称为世界足坛的无冕之王这一命题应该是没有异议的。
1954年的匈牙利队完全对得起无冕之王的称号——但是1954年的瑞士世界杯决赛并没有进入到点球大战环节。
然后是1974年由约翰克鲁伊夫领衔的荷兰队。
另外一位匈牙利人冯诺依曼(译注：20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论、核武器和生化武器等诸多领域内有杰出建树的伟大科学家，被后人称为“计算机之父”和“博弈论之父”。1944年与摩根斯特恩合著博弈论与经济行为，是博弈论学科的奠基性著作)很可能对足球没有任何兴趣，但他肯定意识到了匈牙利队是多么成功的一支球队。
但是关于他是否在研究“极小极大定理”时考虑到了点球博弈，这个我们不得而知。
1928年，诺依曼发表了一篇论文客厅游戏的理论，被视为博弈论的开山之作。
该理论的大致含义是：在一场零和博弈中(译注：又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈。指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”，双方不存在合作的可能)，双方具有完美信息(译注：所谓完美信息，指轮到行动的局中人知道先前的行动的其他局中人采取了什么策略，比如在2016年的百年美洲杯决赛中，布拉沃知道梅西之前所做的决策)，两方可以采取相应的对策来使自己的损失减到最校
当考虑自己可以采用的每一个策略时，一方必须考虑到在自己采用一种策略时，对方有可能采取的所有反应。
双方需要考虑的是“最差条件下，能得到的最好结果”，即在博弈过程中，看对方提出决策后自己的最低收益是多少；然后在这些最低收益里找到最大的那个。
实证检验这样一个定理是非常困难的，但是罚点球情境却是研究极小极大定理的理想素材。
点球博弈是典型的零和博弈，点球主罚者的得益和门将的得益一定是相对的(即不存在点球主罚者与对方门将共赢的可能)。
伦敦经济学院经管策略学教授兼毕尔巴鄂竞技足球俱乐部人才甄别中心负责人伊格纳西奥维尔塔对此进行了一个很有参考价值的研究。
点球博弈模型可以如此展开分析：在一场点球博弈中，双方的得益都是比赛的胜利——主罚者需要踢进点球，守门员需要扑出点球。我们假定主罚者可以将球踢向左侧或右侧，相对应的，守门员也可以做出向左或是向右的扑救动作。双方还有一种选择是主罚者将球踢向中路，守门员留守中路，但我们随后将会分析这种情况在统计学上意义不大，所以我们维持向左或向右的假定。当然主罚者完全有可能将球踢出球门范围以外，我们在这里不予考虑。
π在这里代表一个特定的事件，πlr代表的是主罚者将球踢向自己左侧，而守门员扑向主罚者右侧的情况。在事实层面表现为守门员完全扑错了方向。
我们必须清楚一点：双方的动作是同时做出的——有研究表明，球从踢球者脚下到球门线只需要大概0.3秒的时间，这意味着守门员不可能等到球被踢出，看到球的运行轨迹后再做出成功扑救。
这意味着主罚者和守门员必须同时选择他们的策略。
维尔塔教授经过研究，表明点球博弈在如下情况时，能够达到一种与众不同的纳什均衡(译注：又称为非合作博弈均衡，以约翰纳什命名，如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益则此策略组合被称为纳什均衡)。
在上述模型中，想要达到纳什均衡，主罚者和守门员需要采取策略组合。
上述均衡能够产生两个可预测的实验结果。我们提出了一个“成功率”的概念——点球主罚者和守门员的成功概率应该是一样的。
主罚者和守门员在点球过程中的选择必须相互独立。
简而言之，双方必须只关心当时的得益而不考虑过往的点球经历——双方的选择必须基于无记忆条件下的。
换句话说，在对于一个现时点球的决策过程中，双方都不能被之前的经验所影响。
其实道理很简单，作为点球主罚者或是守门员，如果对方预先知道你的选择，那么形势对自己将相当不利。所以对于两方来说，比较理想的情况是双方各自随机挑选策略组合，并且无法从对方的策略组合中牟利。
维埃塔教授用经典假设方法与真实数据来检定上述两个假设是否成立。数据来自于西班牙、英格兰、意大利以及一些国际比赛，时间限定在1995年9月到2012年6月。
数据的规模达到了总共9017次点球，同时被记录下来的数据还包括：球员的名字(包括点球主罚者和守门员各自的名字)，比赛双方球队的名字，比赛日期，点球主罚者将球踢出的方向(自己的左侧、右侧或是中路)，主罚点球的时间点，主罚点球前的双方比分，比赛的最终结果，点球是否罚进(未罚进的情况包括被守门员扑救、偏出或者踢中门柱或横梁)，上述每一项数据都清晰地分成类别。